Funkcje harmoniczne Funkcjonały Równania Eulera

Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów

Niech \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^n.\hskip 0.3pc \) Szukamy minimum funkcjonału

(1)

\( {\cal F}(u) = \displaystyle\int_a^bf\big(x,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)}\big)dx \)

w zbiorze funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^n([a,b])\hskip 0.3pc \) spełniających warunki:

\( u(a)=u_0,\hskip 0.3pcu^\prime(a)=u^\prime_0,\, \ldots ,\hskip 0.3pcu^{(n-1)}(a)=u^{(n-1)}_0, \)

\( u(b)=u_1,\hskip 0.3pcu^\prime(b)=u^\prime_1,\, \ldots ,\hskip 0.3pc u^{(n-1)}(b)=u^{(n-1)}_1. \)

Można pokazać, że każda ekstremala funkcjonału ( 1 ) musi spełniać równanie Eulera-Poissona

(2)

\( f_u- \dfrac{d}{dx}f_{u^\prime}+\dfrac{d^2}{dx^2}f_{u^{\prime\prime}}- \cdots +(-1)^n\dfrac{d^n}{dx^n}f_{u^{(n)}}=0, \)

a wariacja określona jest wzorem

\( \delta {\cal F}(u)(h)=\displaystyle\int_a^b\big(f_uh+f_{u^\prime}h^\prime+\ldots +f_{u^{(n)}}h^{(n)}\big)dx. \)

Jeśli \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) jest ekstremalą, a ponadto druga wariacja jest określona dodatnio, funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) osiąga na \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) minimum lokalne, jeśli jest określona ujemnie, maksimum lokalne.

Przykład 1:

Znaleźć ekstrema funkcjonału

\( {\cal F}(u) = \displaystyle\int_0^1\big(360x^2u-(u^{\prime\prime})^2\big) dx \)

w zbiorze funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^2([0,1])\hskip 0.3pc \) spełniających warunki:

\( u(0)=0,\hskip 0.5pc u^\prime(0)=1,\hskip 0.5pc u(1)=0,\hskip 0.5pc u^\prime(1)=5/2. \)

Równanie Eulera-Poissona ma postać

\( 360x^2+\dfrac{d^2}{dx^2}(-2u^{\prime\prime})=0, \)

czyli

\( u^{(4)}=180x^2 \)

Rozwiązanie ogólne tego równania jest nastepujące

\( u=\dfrac 12x^6+C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4, \)

zaś po uwzględnieniu zadanych warunków otrzymamy równanie ekstremali

\( u=\dfrac 12x^6+\dfrac 32x^3-3x^2+x. \)

Ponieważ druga wariacja, która w tym przypadku wyraża się wzorem

\( \delta^2{\mathcal F}(u)(h)=-\displaystyle\int_0^1(h^{\prime\prime}(x))^2dx, \)

jest określona ujemnie, funkcjonał osiąga maksimum lokalne.

Przykład 2:

Znaleźć minimum funkcjonału

\( {\cal F}(u) = \dfrac 12\displaystyle\int_a^b(u^{\prime\prime})^2 dx \)

w zbiorze funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^2([a,b])\hskip 0.3pc \) spełniających warunki:

(3)

\( u(a)= u(b)=0. \)

Oczywiście funkcja \( \hskip 0.3pc u=0\hskip 0.3pc \) realizuje minimum rozważanego funkcjonału. Pokażemy, że jest to jedyne rozwiązanie.
Istotnie, równanie Eulera-Poissona ma postać

\( u^{(4)}=0, \)

a jego całka ogólna ma postać

\( u=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4. \)

Ponieważ całka ogólna zawiera cztery stałe, zadane warunki początkowe nie wystarczają do wyznaczenia wszystkich stałych. Zauważmy, że

\( \begin{aligned}\delta {\cal F}(u)(h)=& \displaystyle\int_a^bu^{\prime\prime}h^{\prime\prime}dx= u^{\prime\prime}(x)h^\prime(x)\Big|_a^b-\displaystyle\int_a^bu^{\prime\prime\prime}(x)h^\prime(x)dx=\\& u^{\prime\prime}(x)h^\prime(x)\Big|_a^b-\Big(u^{\prime\prime\prime}(x)h(x)\Big|_a^b-\displaystyle\int_a^bu^{(4)}(x)h(x)dx\Big)= u^{\prime\prime}(x)h^\prime(x)\Big|_a^b.\end{aligned} \)

Jeśli funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) osiąga w punkcie \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) ekstremum, wówczas wariacja jest równa zeru, czyli

\( u^{\prime\prime}(x)h^\prime(x)\Big|_a^b=u^{\prime\prime}(b)h^\prime(b)-u^{\prime\prime}(a)h^\prime(a)=0. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc h\hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją w \( \hskip 0.3pc C^2([a,b])\hskip 0.3pc \) spełniającą warunek \( \hskip 0.3pc h(a)=h(b)=0,\hskip 0.3pc \) natomiast wartości \( \hskip 0.3pc h^\prime(a),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc h^\prime(b)\hskip 0.3pc \) mogą być dowolne, z ostatniego warunku wynika, że \( \hskip 0.3pc u^{\prime\prime}(a)=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc u^{\prime\prime}(b)=0.\hskip 0.3pc \) Stąd i ( 3 ) wynika, że \( \hskip 0.3pc u=0.\hskip 0.3pc \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów

Przykład 1:

Przykład 2: